已知数列{an}的各项为正数.其前n项和为Sn满足${S n}={^2}$.设bn=10-an．(1)求证:数列{an}是等差数列.并求{an}的通项公式,(2)设数列{bn}的前n项和为Tn.求Tn的最大值．(3)设数列{bn}的通项公式为${b n}=\frac{a n}{{{a n}+t}}$.问:是否存在正整数t.使得b1.b2.bm成等差数列?若存在.求出t和m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．已知数列{a_n}的各项为正数，其前n项和为S_n满足${S_n}={（\frac{{{a_n}+1}}{2}）^2}$，设b_n=10-a_n（n∈N）．
（1）求证：数列{a_n}是等差数列，并求{a_n}的通项公式；
（2）设数列{b_n}的前n项和为T_n，求T_n的最大值．
（3）设数列{b_n}的通项公式为${b_n}=\frac{a_n}{{{a_n}+t}}$，问：是否存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m（m≥3，m∈N）成等差数列？若存在，求出t和m的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）当n=1时，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，解得a₁=1．当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1，化为（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，由已知可得：a_n-a_n-1-2=0，利用等差数列的通项公式即可得出．
（2）b_n=10-a_n=-2n+11，可得{b_n}是等差数列，利用求和公式、二次函数的单调性即可得出．
（3）由（1）知${b_n}=\frac{2n-1}{2n-1+t}$．要使b₁，b₂，b_m成等差数列，可得2b₂=b₁+b_m，代入化简即可得出．

解答解：（1）当n=1时，${a_1}={S_1}={（\frac{{{a_1}+1}}{2}）^2}$，∴a₁=1…（2分）
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$（\frac{{a}_{n}+1}{2}）^{2}$-$（\frac{{a}_{n-1}+1}{2}）^{2}$，即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，
∵数列{a_n}的各项为正数，∴a_n+a_n-1＞0，a_n-a_n-1-2=0，
所以{a_n}是等差数列，公差为2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
（2）b_n=10-a_n=-2n+11，b₁=9，
∵b_n-b_n-1=-2，∴{b_n}是等差数列…（7分）
∴${T_n}=\frac{{n（{b_1}+{b_n}）}}{2}=-{n^2}+10n$，当n=5时，${T_{nmax}}=-{5^2}+10×5=25$…（10分）
（3）由（1）知${b_n}=\frac{2n-1}{2n-1+t}$．要使b₁，b₂，b_m成等差数列，
∴2b₂=b₁+b_m，即$2×\frac{3}{3+t}=\frac{1}{1+t}+\frac{2m-1}{2m-1+t}$，…．整理得$m=3+\frac{4}{t-1}$，…1（2分）
因为m，t为正整数，所以t只能取2，3，5．
当t=2时，m=7；当t=3时，m=5；当t=5时，m=4．
故存在正整数t，使得b₁，b₂，b_m成等差数列．…（16分）