Question

20．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，曲线M的直角坐标方程为x-2y+2=0（x＞0）
（1）以曲线M上的点与点O连线的斜率k为参数，写出曲线M的参数方程；
（2）设曲线C与曲线M的两个交点为A，B，求直线OA与直线OB的斜率之和．

Answer 1

分析 （1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，能求出曲线M的参数方程．
（2）求出曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，求出A与B，由此能求出直线OA与直线OB的斜率之和．

解答 解：（1）联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，
得到曲线M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{2k-1}}\\{y=\frac{2k}{2k-1}}\end{array}\right.$，（k为参数）．
（2）∵曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为（x-2）²+y²=4，
联立$\left\{\begin{array}{l}{（x-2）^{2}+{y}^{2}=4}\\{x-2y+2=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{2}{5}}\\{y=\frac{6}{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直线OA与直线OB的斜率之和：
k_OA+k_OB=$\frac{\frac{6}{5}}{\frac{2}{5}}+\frac{2}{2}$=4．

点评 本题考查曲线的参数方程的求法，考查两直线斜率之和的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想，是中档题．