题目内容
如图，平行四边形ABCD的两条对角线交于点M，设E为BM的中点，F为BC上的点且BF=
FC．
（1）证明：A，E，F三点共线；
（2）若AB=2，AD=1，且∠DAB=60°，求：①AE的长度；②求∠CAE的余弦值；③向量AE在向量AC上的投影．
| 1 |
| 2 |
（1）证明：A，E，F三点共线；
（2）若AB=2，AD=1，且∠DAB=60°，求：①AE的长度；②求∠CAE的余弦值；③向量AE在向量AC上的投影．
考点：平面向量数量积的运算,平行向量与共线向量
专题：计算题,平面向量及应用
分析：（1）运用向量的中点表示，及平面向量基本定理，求出向量AE，AF，均由向量AB，AC表示，即可得证；
（2）求出向量AC的长，再由向量的平方即为模的平方，即可得到向量AE的长；运用向量的夹角公式，即可求得cos∠CAE；再由
在向量
上的投影为
，计算即可得到．
（2）求出向量AC的长，再由向量的平方即为模的平方，即可得到向量AE的长；运用向量的夹角公式，即可求得cos∠CAE；再由
| AE |
| AC |
| ||||
|
|
解答：
（1）证明：E为BM的中点，则
=
（
+
）
=
（
+
）=
+
=
（2
+
），
F为BC上的点且
=
，
则有
-
=
（
-
），
即有
=
，
即有
=
，即A，E，F三点共线；
（2）解：①
=
+
，
|
|=
=
=
，
由（1）得，
=
+
=
+
，
|
|=
=
=
；
②cos∠CAE=
=
=
=
；
③
在向量
上的投影为
=
=
．
| AE |
| 1 |
| 2 |
| AM |
| AB |
=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| AC |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AB |
| AC |
F为BC上的点且
| BF |
| 1 |
| 2 |
| FC |
则有
| AF |
| AB |
| 1 |
| 2 |
| AC |
| AF |
即有
| AF |
2
| ||||
| 3 |
即有
| AF |
| 4 |
| 3 |
| AE |
（2）解：①
| AC |
| AB |
| AD |
|
| AC |
|
4+1+2×2×1×
|
| 7 |
由（1）得，
| AE |
| 1 |
| 4 |
| AC |
| 1 |
| 2 |
| AB |
| 3 |
| 4 |
| AB |
| 1 |
| 4 |
| AD |
|
| AE |
|
=
|
=
| ||
| 4 |
②cos∠CAE=
| ||||
|
|
| ||||||||||||
|
| ||||
|
=
17
| ||
| 301 |
③
| AE |
| AC |
| ||||
|
|
| ||
|
17
| ||
| 28 |
点评：本题考查向量的共线定理的运用，考查平面向量的数量积的定义和性质，考查向量的夹角公式和向量的投影的概念，考查运算能力，属于中档题．
练习册系列答案
字词句篇与同步作文达标系列答案
相关题目
如图，点P为⊙O的弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC为⊙O于点C，若OC=4，∠POC=60°，则PA•PB=
已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=