Question

已知正项等比数列{a_n}满足：a₃=4，a₄+a₅=24．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=

an

n•(n+1)•2n

，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由题意列出方程组求得首项和公比，即可写出通项公式；
（Ⅱ）bn=

an

n•(n+1)•2n

= 

1

2n•(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．利用裂项法求数列的和即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）设正项等比数列{a_n}的首项为a₁，公比为q，
则由a₃=4，a₄+a₅=24得

a1•q2=4 a1•q3+a1•q4=24

，
由于a_n＞0，q＞0解得

a1=1 q=2

，
所以a_n=a1•qn-1=2n-1．
（Ⅱ）由a_n=a1•qn-1=2n-1．得bn=

an

n•(n+1)•2n

= 

1

2n•(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Sn=

1

2

[(

1

1

-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n

-

1

n+1

)]=

1

2

(1-

1

n+1

)=

n

2(n+1)

∴Sn=

n

2(n+1)

．

点评：本题主要考查等比数列的性质及裂项相消法求数列的和知识，属于中档题、常规题，应熟练掌握．