Question

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体，其下部是底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂．
（1）现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB=10，A₁B₁=20，AA₂=30，AA₁=13（单位：厘米），每平方厘米的加工处理费为2元，需加工处理费多少元？
（2）求该几何体的体积．

Answer 1

考点：函数模型的选择与应用

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（1）计算上面四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的表面积（除去下底面的面积）S₁，四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD的表面积（除去下底面的面积）S₂即可．
（2）计算长方体，棱台的体积，即可求该几何体的体积．

解答： 解：（1）∵四棱柱ABCD-A₂B₂C₂D₂的底面是正方形，侧面是全等的矩形，
∴S₁=SA2B2C2D2+S_侧面=10²+4×10×30=1300．
因为四棱台A₁B₁C₁D₁-ABCD的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，
所以S₂=SA1B1C1D1+S_{四个侧面梯形}=202+4×

1

2

(10+20)

132-[ 1 2 (20-10)]2

=1120
于是该实心零部件的表面积S=S₁+S₂=1300+1120=2420（cm²），
故所需加工处理费为2S=2×2420=4840（元）；
（2）几何体的体积为10×10×30+

1

3

（100+400+200）

119

=3000+

700 119

3

（cm³）．

点评：考查棱柱、棱台的侧面积和表面积，着重考查分析转化与运算能力，属于中档题．