Question

已知点（0，-

5

）是中心在原点，长轴在x轴上的椭圆的一个顶点，离心率为

6

6

，椭圆的左右焦点分别为F₁和F₂
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）点M在椭圆上，求△MF₁F₂面积的最大值．

Answer 1

考点：椭圆的标准方程,椭圆的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知得b=

5

，

c

a

=

6

6

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2=

1

2

•2•|y₁|=|y₁|，由此能求出当y₁=±

5

时，S△MF1F2的最大值为

5

．

解答： 解：（Ⅰ）设椭圆方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵椭圆的一个顶点（0，-

5

），离心率为

6

6

，
∴b=

5

，

c

a

=

6

6

，
解得a=

6

，c=1，
∴椭圆方程为

x2

6

+

y2

5

=1．
（Ⅱ）令M（x₁，y₁），则S△MF1F2=

1

2

•2•|y₁|=|y₁|，
∵-

5

≤y₁≤

5

，
∴|y₁|的最大值为

5

，
∴当y₁=±

5

时，S△MF1F2的最大值为

5

．

点评：本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质，利用a、b、c、e几何意义和a²=b²+c²求出a和b的值，根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值，考查了分析问题和解决问题的能力．