Question

若函数f（x）满足：存在非零常数T，对定义域内的任意实数x，有f（x+T）=Tf（x）成立，则称f（x）为“T周期函数”，那么有函数：
①f（x）=e^x②f（x）=e^-x③f（x）=lnx④f（x）=x，
其中是“T周期函数”的有

 

（填上所有符合条件的函数前的序号）

Answer 1

考点：函数的周期性

专题：压轴题,新定义

分析：结合新定义判断①利用导数判断不可能成立，②利用导数判断有零点，所以存在，③ln（x+T）=Tlnx，不可能成立，④x+T=Tx，不可能成立，

解答： 解：∵函数f（x）满足：存在非零常数T，对定义域内的任意实数x，
有f（x+T）=Tf（x）成立，则称f（x）为“T周期函数”，
∴可判断如下：
①f（x）=e^x，f（x+T）=e^x+T=e^T•e^x，
∴e^T=T，
令m（T）=e^T-T，m′（T）=e^T-1，
m′（T）=e^T-1=0，x=0，
m′（T）=e^T-1＞0．x＞0，
m′（T）=e^T-1＜0，x＜0，
m（T）_min=e⁰-1=0，
∴不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
①不是“T周期函数”
②f（x）=e^-x，
根据题意可得T=e^-T，
∴Te^T=1，
令m（T）=Te^T-1，
∴m′（T）=（T+1）e^T，
m′（T）=（T+1）e^T=0，T=-1，
m′（T）=（T+1）e^T＞0，T＞-1，
m′（T）=（T+1）e^T＜0，T＜-1，
∴m（T）_min=-e^-1-1＜0，
m（2）=2e²-1＞0，
∴存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
②是“T周期函数”，
③f（x）=lnx，
∴f（T+x）=ln（x+T）=Tlnx，
不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
③不是“T周期函数”，
④f（x）=x，
∴f（x+T）=x+T，Tf（x）=Tx，
∴x+T=Tx，不可能成立，不存在非零常数T，使f（x+T）=Tf（x）成立，
④不是“T周期函数”，
故答案为：②

点评：本题考察了新概念的运用，融合了导数的运用，属于难题．