Question

已知函数f（x）=

1

3

x³-ax+a
（Ⅰ）若函数f（x）恰好有两个不同的零点，求a的值．
（Ⅱ）若函数f（x）的图象与直线y=x-1相切，求a的值及相应的切点坐标．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）若函数f（x）恰好有两个不同的零点，等价为函数的极值为0，建立方程即可得到结论．．
（Ⅱ）根据导数的几何意义，求出切线方程，建立方程组，即可求a的值及相应的切点坐标．

解答： 解：（Ⅰ）函数的导数f′（x）=x²-a，
若a≤0，函数f′（x）=x²-a≥0，此时f（x）单调递增，不满足条件，
若a＞0，由f′（x）=x²-a=0的x=±

a

，则x=±

a

，是函数f（x）的两个极值点，
若若函数f（x）恰好有两个不同的零点，
则f（±

a

）=0，
∵f（0）=a＞0，∴只能有f（

a

）=0，
即

1

3

（

a

）³-a•

a

+a=0，
即

1

3

a

-

a

+1=0，
即

2

3

a

=1，

a

=

3

2

，即a=

9

4

．
（Ⅱ）设切点P（m，n），则f′（m）=m²-a，
则切线方程为y-（

1

3

m³-am+a）=（m²-a）（x-m），
即y=（m²-a）x+a-

2

3

m³，
∵切线方程为y=x-1，
∴m²-a=1，a-

2

3

m³=-1，
即

1

3

m³=0，即m=0，
此时n=m-1=-1，a=-1，
即若函数f（x）的图象与直线y=x-1相切，
则a=-1，相应的切点坐标P（0，-1）．

点评：本题主要考查函数零点的应用以及切线方程的求解，根据导数的几何意义是解决本题的关键．