Question

平面内两定点A₁，A₂的坐标分别为（-2，0），（2，0），P为平面一个动点，且P点的横坐标x∈（-2，2），过点P做PQ垂直于直线A₁A₂，垂足为Q，并满足|PQ|²=

3

4

|A₁Q|•|A₂Q|
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）当动点P的轨迹加上A₁，A₂两点构成的曲线为C，一条直线l与以点（1，0）为圆心，半径为2的圆M相交于A，B两点．若圆M与x轴的左交点为F，且

FA

•

FB

=6，求证：直线l与曲线C只有一个公共点．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）设P（x，y），x∈（-2，2），则|PQ|²=y²，|A₁Q|=2+x，|A₂Q|=2-x，由|PQ|²=

3

4

|A₁Q|•|A₂Q|，能求出动点P的轨迹方程．
（2）由（1）知曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，圆M的方程为（x-1）²+y²=4，则F（-1，0），当直线l斜率存在时，设直线l的方程为：x=2，与曲线C只有一个公共点；当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，联立直线与圆的方程联立得（1+k²）x²+2（km-1）x+m²-3=0，由此利用根的判别式得直线l与曲线C只有一个公共点．

解答： （1）解：设P（x，y），x∈（-2，2），
则|PQ|²=y²，|A₁Q|=2+x，|A₂Q|=2-x，
∵|PQ|²=

3

4

|A₁Q|•|A₂Q|，
∴y2=

3

4

(2-x)(2+x)，
即

x2

4

+

y2

3

=1，x∈(-2，2)．
∴动点P的轨迹方程

x2

4

+

y2

3

=1，x∈(-2，2)．
（2）证明：由（1）知曲线C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1，
圆M的方程为（x-1）²+y²=4，则F（-1，0），
则A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
①当直线l斜率存在时，设l的方程为：x=x₀，
则x₁=x₂=x₀，y₁=-y₂，

FA

=(x0+1，y1)，

FB

=(x0+1，y2)，
∵

FA

•

FB

=6，∴(x0+1)2+y1y2=6，∴（x₀+1）²-y₁²=6，
∵点A在圆M上，∴（x₀-1）²+y12=4代入上式，得x₀=±2，
∴直线l的方程为：x=±2，与曲线C只有一个公共点，
经检验x=-2不合题意，舍去，∴x=2．
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，联立直线与圆的方程，

y=kx+m (x-1)2+y2=4

，得（1+k²）x²+2（km-1）x+m²-3=0，
∴

x1+x2= 2(1-km) 1+k2 x1x2= m2-3 1+k2

，
∵

FA

=（x₁+1，y₁），

FB

=(x2+1，y2)，且

FA

•

FB

=6，
∴x₁x₂+（x₁+x₂）+y₁y₂=5，
又∵

y1=kx1+m y2=kx2+m

，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）
=k2x1x2+km(x1+x2)+m 2，
代入，得：(1+k2)x1x2+(1+km)(x1+x2)+m2=5，
化简，得：m²-4k²=3，
联立直线l与曲线C的方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，
得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0，
△=（8km）²-4（3+4k²）（4m²-12）=48（4k²-m²+3），
∵m²-4k²=3，∴△=0，
∴直线l与曲线C只有一个公共点．

点评：本题考查动点的轨迹方程的求法，考查直线与曲线只有一个公共点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识的合理运用．