Question

若A_n=

.

a1a2…an

（a_i=0）或1，i=1，2，…，n，则称A_n为0和1的一个n位排列．对于A_n，将排列

.

ana1a2，…an-1

记为R¹（A_n）；将排列

.

an-1ana1，…an-2

记为R²（A_n）；依此类推，直至Rⁿ（A_n）=A_n．对于排列A_n和R¹（A_n）（i=1，2，…n-1），它们对应位置数字相同的个数减去对应位置数字不同的个数，叫做A_n和R¹（A_n）的相关值，记作t（A_n，R¹（A_n））．例如A₃=

.

110

，则R¹（A₃）=

.

011

，t（A₃R¹，（A₃））=-1．若t（A_n，R¹（A_n））=-1（i=1，2，…，n-1），则称A_n为最佳排列．  
（Ⅰ）写出所有的最佳排列A₃

 

；   
（Ⅱ）若某个A_2k+1（k是正整数）为最佳排列，则排列A_2k+1中1的个数

 

．

Answer 1

考点：类比推理

专题：推理和证明

分析：（Ⅰ）根据已知中最佳排列的定义，可得排列A₃的三个元素中至少含有0和1各一个，进而可写出所有的最佳排列A₃；
（Ⅱ）若某个A_2k+1（k是正整数）为最佳排列，则排列A_2k+1中1的个数比0的个数少一，或多一，进而根据0和1，共2k+1个，可得答案．

解答： 解：（Ⅰ）最佳排列A₃为：

.

110

，

.

101

，

.

100

，

011

，

.

010

，

.

001

．
（Ⅱ） A_2k+1=

.

a1a2…a2k+1

（a_i=0或1，i=1，2，…，2k+1）得
R¹（A_2k+1）=

.

a2k+1a1a2…a2k

，R²（A_2k+1）=

.

a2ka2k+1a1a2…a2k-1

，…R^2k-1（A_2k+1）=

.

a3a4… a2k+1a1a2

，R^2k（A_2k+1）=

.

a2a3… a2k+1a1

．
因为 t（A_2k+1，R¹（A_2k+1））=-1（i=1，2，…，2k），
所以 A_2k+1与每个R¹（A_2k+1）有k个对应位置数码相同，有k+1个对应位置数码不同，
因此有：|a₁-a_2k+1|+|a₂-a₁|+…+|a_2k-a_2k-1||a_2K+1-a_2k|=k+1，
|a₁-a_2k|+|a₂-a_2k+1|+…+|a_2k-a_2k-2||a_2K+1-a_2k-1|=k+1
…，
|a₁-a₃|+|a₂-a₄|+…+|a_2k-a₁||a_2K+1-a₂|=k+1，
|a₁-a₂|+|a₂-a₃|+…+|a_2k-a_2k+1||a_2K+1-a₁|=k+1，
以上各式求和得，S=（k+1）•2k．
另一方面，S还可以这样求和：设a₁，a₂，…，a_2k+1中有x个0，y个1，
则S=2xy．
所以

x+y=2k+1 2xy=2k(k+1)

，
解得

x=k y=k+1

或

x=k+1 y=k

所以排列A_2k+1中1的个数是k或k+1．
故答案为：（1）

.

110

，

.

101

，

.

100

，

011

，

.

010

，

.

001

．（2）k或k+1

点评：本题考查的知识点是类比推理，正确理解最佳排列的概念及A_n和R¹（A_n）的相关值，是解答的关键．