Question

解下列关于x的不等式：
（1）x²-（a+

1

a

）x+1＜0（a≠0）；
（2）

ax-1

x-a

＜0（a∈R）．

Answer 1

考点：一元二次不等式的解法,其他不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：根据一元二次不等式的解法和分式不等式的解法即可得到结论．

解答： 解：（1）由x²-（a+

1

a

）x+1＜0（a≠0）得（x-a）（x-

1

a

）＜0（a≠0）；
由a=

1

a

解得a=1或a=-1，
若a=1或a=-1时，不等式的解集为∅，
若a＜-1或0＜a＜1时，a＜

1

a

，此时不等式的解为a＜x＜

1

a

，
若-1＜a＜0或a＞1时，a＞

1

a

，此时不等式的解为

1

a

＜x＜a，
综上若a=1或a=-1时，不等式的解集为∅，
若a＜-1或0＜a＜1时，a＜

1

a

，此时不等式的解为（a，

1

a

），
若-1＜a＜0或a＞1时，a＞

1

a

，此时不等式的解为（

1

a

，a）
（2）

ax-1

x-a

＜0等价为（ax-1）（x-a）＜0，
若a=0，不等式等价为x＞0，
若a＞0，不等式等价为a（x-a）（x-

1

a

）＜0，即（x-a）（x-

1

a

）＜0，
由（1）知若a=1时，不等式的解集为∅，
若0＜a＜1时，a＜

1

a

，此时不等式的解为（a，

1

a

），
若a＞1时，a＞

1

a

，此时不等式的解为（

1

a

，a）．
若a＜0，不等式等价为a（x-a）（x-

1

a

）＜0，即x-a）（x-

1

a

）＞0，
若a=-1时，不等式的解集为{x|x≠-1}，
若a＜-1时，a＜

1

a

，此时不等式的解集{x|x＜a或x＞

1

a

}，
若-1＜a＜0时，a＞

1

a

，此时不等式的解集{x|x＜

1

a

或x＞a}．

点评：本题主要考查不等式的求解，注意分类讨论．