Question

在平面直角坐标系中，已知定圆F：（x-1）²+y²=1（F为圆心），定直线l：x=-2，作与圆F内切且和直线l相切的动圆P，
（1）试求动圆圆心P的轨迹E的方程．
（2）设过定圆心F的直线m自下而上依次交轨迹E及定园F于点A、B、C、D，
①是否存在直线m，使得|AD|=2|BC|成立？若存在，请求出这条直线的方程；若不存在，请说明理由．
②当直线m绕点F转动时，|AB|•|CD|的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆的位置关系,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）设动圆心P（x，y），利用动圆P与定园F内切，列出方程，然后化简求出轨迹方程．
（2）①当直线m的斜率存在，联立

y2=4x y=k(x-1)

设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），利用韦达定理求出|AD|，利用|AD|=2|BC|，求出k即可．然后求出直线方程．
②当直线m的斜率存在时，利用①|AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=x₁•x₂=1，说明对于任意的直线m，|AB|•|CD|=1为定值．

解答： 解：（1）设动圆心P（x，y）
因为动圆P与定园F内切，则

(x-1)2+y2

=|x+2|-1
若x≥-2，则

(x-1)2+y2

=x+1⇒y2=4x，
若x＜-2，则

(x-1)2+y2

=-x-3⇒y2=8(x+1)，与x＜-2矛盾．
故动圆心P的轨迹是以F为焦点，x=-1为准线的抛物线，
其方程为：y²=4x．…（4分）
（2）①当直线m的斜率存在，由

y2=4x y=k(x-1)

⇒k2x2-(2k2+4)x+k2=0
设A（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=2+

4

k2

，

x

1

•x2=1，∴|AD|=|AF|+|DF|=x1+1+x2+1=4+

4

k2

，而|BC|=2，
若|AD|=2|BC|，则4+

4

k2

=4，k无解，此时不存在．…（8分）
当直线m的斜率不存在时，则|AD|=4，|BC|=2，显然|AD|=2|BC|成立．
故存在直线m使|AD|=2|BC|成立．此时直线m：x=1．…（9分）
②当直线m的斜率存在时，由①|AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=x₁•x₂=1
当直线m的斜率不存在时，|AB|•|CD|=（|AF|-1）•（|DF|-1）=（2-1）（2-1）=1．
故对于任意的直线m，|AB|•|CD|=1为定值．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查分析问题解决问题的能力．