Question

已知平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，AD=AE=BE=2，M、H分别是DE、AB的中点，主（正）视图方向垂直平面ABCD时，左（侧）视图的面积为

2

．
（1）求证：MH∥平面BCE；
（2）求证：平面ADE⊥平面BCE．

Answer 1

考点：直线与平面平行的判定,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：对于第（1）问，思路1（由线线平行得线面平行）：取CE的中点N，连接BN，只需证MH∥BN即可；思路2（由面面平行得线面平行）：取AE的中点P，连接MP、HP，只需证明平面MPH∥平面BCE即可．
对于第（2）问，要证明面面垂直，由面面垂直的判定定理，可先证明平面BCE内的直线BE⊥平面ADE，问题转化为证BE⊥AE，BE⊥AD，根据已知条件及数据，设法探求BE与AE，及BE与AD的垂直关系即可证明．

解答： 证明：（1）方法一：取CE的中点N，连接BN，如图1所示．
∵△CDE中，M、N分别是DE、CE的中点，∴MN∥CD且MN=

1

2

CD．
在矩形ABCD中，∵H是AB的中点，∴BH∥CD且BH=

1

2

CD，
∴MN∥BH且MN=BH，从而四边形BHMN为平行四边形，∴MH∥BN．
又∵MH?平面BCE，BN?平面BCE，∴MH∥平面BCE．
方法二：取AE的中点P，连接MP、HP，
在△ABE中，∵P、H分别是AE、AB的中点，∴HP∥BE，
∵HP?平面BCE，BE?平面BCE，∴HP∥平面BCE；同理有MP∥平面BCE，
又∵MP∩HP=P，∴平面MPH∥平面BCE，
∵MH?平面MPH，∴MH∥平面BCE．
（2）取CD中点F，连接EH、EF、FH，如图2所示，则在矩形ABCD中，FH⊥AB，FH=AD=2．
在△ABE中，AE=BE=2，∴EH⊥AB，∵FH∩EH=H，∴AB⊥平面EFH，
∵平面ABCD⊥平面ABE，∴∠EHF=90°，
∴Rt△EFH的面积等于几何体E-ABCD左（侧）视图的面积，
得

1

2

EH×FH=

1

2

EH×2=

2

，即EH=

2

，
∴在ABE中，有AH²+EH²=BH²+EH²=AE²=DE²=2²，得AH=BH=

2

，从而AB=2

2

．
由AE²+BE²=AB²=8知，AE⊥BE．
∵平面ABCD⊥平面ABE，四边形ABCD是矩形，∴AD⊥平面ABE，
又∵BE?平面ABE，∴AD⊥BE，而AD∩AE=A，∴BE⊥平面ADE，
∵BE?平面BCE，∴平面ADE⊥平面BCE．

点评：1．本题考查了几何的三视图，线面平行的判定定理，面面垂直的判定定理等，考查知识点较多，且综合性强，利用已知数据及线、面位置关系进行合理地推理是关键．
2．事实上，第（1）问还可以连结FM，要证MH∥平面BCE，只需证平面MFH∥平面BCE，由FH∥BC及MF∥CE得证；第（2）问也可以利用向量法：以H为坐标原点，射线HE为x轴，射线HB为y轴，射线HF为z轴建立空间直角坐标系，分别找到平面ADE与平面BCE的法向量，问题转化为证明这两个法向量互相垂直，只需通过计算得出其数量积为零即可．