Question

甲、乙两机床加工同一种零件，抽检得到它们加工后的零件尺寸x（单位：cm）及个数，如下表：

零件尺寸x		1.01	1.02	1.03	1.04	1.05
零件个数y	甲	3	7	8	9	3
	乙	7	4	4	4	a

由表中数据得y关于x的线性回归方程为y=-91+l00x（1.01≤x≤1.05），其中合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm）．
（Ⅰ）完成下面列联表，并判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；

	合格零件数	不合格零件数	合计
甲
乙
合计

（Ⅱ）从甲、乙加工后尺寸大于1.03cm的零件中各取1个，求恰好取到2个都是不合格零件的概率．附：参考公式及临界值表．
K²=

n(ad-bc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

，其中n=a+b+c+d．

P（K2≥k）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

考点：独立性检验的应用

专题：综合题,概率与统计

分析：（Ⅰ）确定a=11，根据合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm），可得列联表，计算K²，与临界值比较，即可判断是否有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关；
（Ⅱ）利用列举法确定基本事件的个数，利用概率公式可得结论．

解答： 解：（Ⅰ）

.

x

=1.03，

.

y

=

a+49

5

，
由y=-91+l00x，得

a+49

5

=-91+100×1.03，解之得a=11．（2分）
由于合格零件尺寸为1.03±0.0l（cm），故甲、乙加工的合格与不合格零件的数据表为：

	合格 零件数	不合格 零件数	合计
甲	24	6	30
乙	12	18	30
合计	36	24	60

…（4分）
所以 K2=

60×(24×18-6×12)2

30×30×36×24

=10，因K²=10＞6.635，
故有99%的把握认为加工零件的质量与甲、乙有关…（6分）
（Ⅱ）尺寸大于1.03的零件中，甲有合格零件9个，不合格零件3个；乙有合格零件4个，不合格零件11个，
设甲加工的合格零件为A₁，A₂，…，A₉，甲加工的不合格零件为A₁₀，A₁₁，A₁₂；乙加工的合格零件为B₁，B₂，B₃，B₄，乙加工的不合格零件为B₅，B₆，…，B₁₅．
因此，“从甲、乙中各取1个”的所有基本事件是：（A₁，B₁）、（A₁，B₂），…，（A₁，B₁₅）；（A₂，B₁），（A₂，B₂），…，（A₂，B₁₅）；…，（A₁₂，B₁）、（A₁₂，B₂），…，（A₁₂，B₁₅），共12×15=180种情况…（8分）
其中，“取到的2个都是不合格零件”的基本事件是：（A₁₀，B₅）、（A₁₀，B₆），…，（A₁₀，B₁₅），…，（A₁₂，B₅）、（A₁₂，B₆），…，（A₁₂，B₁₅），共3×11=33种情况…（10分）
故所求概率为P=

33

180

=

11

60

…（12分）

点评：根据列联表，计算K²，与临界值比较，是解决独立性检验的应用问题的方法，列举法是确定基本事件个数的基本方法．