Question

对于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=[2a，2b]，则称区间M为函数f（x）的一个“增值区间”．给出下列4个函数：
①f（x）=x²-2x+4；
②f（x）=|2^x-1|；
③f（x）=e^x-1；
④f（x）=ln（x+1）．
其中存在“增值区间”的函数有

 

 （填出所有满足条件的函数序号）．

Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：阅读型,方程思想,函数的性质及应用

分析：根据题意可得出：存在“增值区间”的函数，必须满足f（x）=2x有2个不等实数根，即f（x）与g（x）=2x有2个不同的交点，运用图象判断即可．

解答： 解：∵于函数f（x），若存在区间M=[a，b]（其中a＜b），使得{y|y=f（x），x∈M}=[2a，2b]，则称区间M为函数f（x）的一个“增值区间”．
∴f（x）=2x，有2个不等实数根，
①f（x）=x²-2x+4=2x，
x²-4x+4=0，
x=2，b不符合题意，
∴①不是增值区间函数，
∵②f（x）=|2^x-1|；与g（x）=2x
∴|2^x-1|=2x有2个不等实根，
f（x）=|2^x-1|；与g（x）=2x有2个不同的交点，
据图说明②符合题意，是增值区间函数．

③f（x）=e^x-1；
f（x）=e^x-1；与g（x）=2x∴③是增值区间函数．

④f（x）=ln（x+1）．与g（x）=2x，

ln（x+1）=2x有2个不等实根，
f（x）=ln（x+1）．与g（x）=2x有2个不同的交点，
∴④是增值区间函数．
故答案为：②③④

点评：本题考查了运用方程的解判断增值区间函数，转化为函数图象的交点问题求解，画出函数图象，根据图象判断，属于数形结合的思想解决问题，关键是理解题意．