题目内容

14．已知一元二次方程ax2+bx+c=0的系数a，b，c恰为双曲线的半实轴长，半虚轴长，半焦距，且此方程无实根，则双曲线离心率e的取值范围是（1，2+$\sqrt{5}$）．

分析 由方程ax2+bx+c=0无实数根可知b2-4ac＜0，再根据双曲线的性质推导此双曲线的离心率e的取值范围．

解答 解：由题意可知b2-4ac＜0，
∵b2=c2-a2，∴c2-a2-4ac＜0，
∴e2-4e-1＜0，
解得2-$\sqrt{5}$＜e＜2+$\sqrt{5}$．
∵e＞1，∴1＜e＜2+$\sqrt{5}$．
故双曲线的离心率e的取值范围是 （1，2+$\sqrt{5}$）．
故答案为：（1，2+$\sqrt{5}$）．

点评 本题主要考查双曲线的简单性质，解题时要注意双曲线的离心率大于1．

练习册系列答案
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