Question

已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P．则下列结论正确的有

 

①不论边长AB，BC如何变化，P为定值  ②若

AB

BC

的值越大，P越大    ③当且仅当AB=BC时，P最大        ④当且仅当AB=BC时，P最小．

Answer 1

考点：几何概型

专题：综合题,概率与统计

分析：以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系，利用面积为测度，计算阴影面积，矩形ABCD的面积由几何概型得所求事件的概率．

解答： 解：以E为原点，CD为x轴，过点E垂直于CD的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示．
设正方形的长为2a，宽为b，则C（a，0），B（a，b），A（-a，b），D（-a，0），
设抛物线方程为y=mx²，代入点B，得m=

b

a2

，所以y=

b

a2

x²．
阴影面积S=2

∫

a 0

（b-

b

a2

x²）dx=2（bx-

b

3a2

x3）

|

a 0

=

4ab

3

，
矩形ABCD的面积S′=ab，
故由几何概型得，所求事件的概率为P=

S

S′

=

4

3

为常数．
故答案为：①

点评：本题考查几何概型，考查面积测度，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．