Question

a，b是方程mx²+nx-2=0的两个不等的实数根，且点M（m，n）在圆C：x²+y²=1上，那么过点A（a，a²）和B（b，b²）的直线与圆C的位置关系（　　）

• A、相离
• B、相切
• C、相交
• D、随m，n的变化而变化

Answer 1

考点：直线与圆的位置关系

专题：综合题,直线与圆

分析：a，b是方程mx²+nx-2=0的两个不等的实数根，利用韦达定理表示出两根之和，再由A和B的坐标，利用直线斜率的公式求出直线AB的斜率，利用平方差公式化简约分后得到结果，将两根之和代入表示出斜率，由A和斜率写出直线AB的方程，利用点到直线的距离公式表示出圆心到直线AB的距离d，整理后得到d=r，可得出直线AB与圆相离．

解答： 解：∵a，b是方程mx²+nx-2=0的两个不等的实数根，
∴a+b=-

n

m

，ma²+na-2=0，
∵A（a，a²）和B（b，b²），
∴直线AB的斜率为

b2-a2

b-a

=b+a=-

n

m

，
∴直线AB的方程为y-a²=-

n

m

（x-a），即nx+my-ma²-na=0，
由圆x²+y²=1，得到圆心（0，0），半径r=1，
∵圆心到直线AB的距离d=

|-ma2-na|

m2+n2

=2＞r，
∴直线AB与圆的位置关系是相离．
故选：A．

点评：此题考查了直线与圆的位置关系，韦达定理，涉及的知识有：直线的两点式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系由d与r的大小来判断，当d＞r时，直线与圆相离；当d=r时，直线与圆相切；当d＜r时，直线与圆相交（d为圆心到直线的距离，r为圆的半径）．