Question

18．（1）已知0＜x＜$\frac{π}{2}$，证明：sinx＜x＜tanx；
（2）求证：函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，π）上为减函数．

Answer 1

分析 （1）构造函数f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，求导，即可证明；
（2）直接求导，讨论$0＜x＜\frac{π}{2}，\frac{π}{2}≤x＜π$两种情况（利用第一问结论）．

解答 证明：（1）当0＜x＜$\frac{π}{2}$时，令f（x）=x-sinx，g（x）=tanx-x，
则f′（x）=1-cosx＞0，g′（x）=$\frac{1}{co{s}^{2}x}$-1＞0，
故f（x）和g（x）在（0，$\frac{π}{2}$）上单调递增，
故f（x）＞f（0）=0，g（x）＞g（0）=0，
∴x＞sinx，且tanx＞x，∴sinx＜x＜tanx．
（2）f（x）=$\frac{sinx}{x}$直接求导，f′（x）=$\frac{xcosx-sinx}{{x}^{2}}$
0＜x＜$\frac{π}{2}$，x＜tanx，∴xcosx＜sinx，∴xcosx-sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈（0，$\frac{π}{2}$）上为减函数．
$\frac{π}{2}$≤x＜π，xcosx≤0，sinx＞0，∴xcosx-sinx＜0，∴f′（x）＜0，在x∈[$\frac{π}{2}$，π）上为减函数．
综上所述，函数f（x）=$\frac{sinx}{x}$在x∈（0，π）上为减函数．

点评 本题考查利用导数的符号研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．