Question

7．已知函数f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）（2$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1），若关于x的方程f（x）=m有实数解，则实数m的取值范围为-$\sqrt{2}$≤m≤2．

Answer 1

分析 构造函数令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=t²，通过求导，判断函数的单调性，求出函数的最值，得出m的取值范围．

解答 解：令t=$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$，
（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）²=2+2$\sqrt{1-{x}^{2}}$=t²，
∴2$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1=t²-3，
∴-1≤t²-3≤1，
∴$\sqrt{2}$≤t≤2，
∴f（x）=（$\sqrt{1+x}$+$\sqrt{1-x}$）（2$\sqrt{1-{x}^{2}}$-1）
=t³-3t，
y'=3t²-3，
∴定义域内递增，
∴-$\sqrt{2}$≤f（x）≤2，
∵关于x的方程f（x）=m有实数解，
∴-$\sqrt{2}$≤m≤2，
故答案为-$\sqrt{2}$≤m≤2，

点评 考查了函数的构造和利用导函数求出函数的值域．