Question

3．若函数f（x）=log₂x在x∈[1，4]上满足f（x）≤m²-3am+2恒成立，则当a∈[-1，1]时，实数m的取值范围是（　　）

• A． [-$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$]
• B． （-∞，-$\frac{1}{3}$]∪[$\frac{1}{3}$，+∞）∪{0}
• C． [-3，3]
• D． （-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}

Answer 1

分析 先求出函数f（x）=log₂x在x∈[1，4]上的取值范围，转化为2≤m²-3am+2在a∈[-1，1]上恒成立，再构造g（a）=m²-3am，a∈[-1，1]根据函数的单调性即可得到．

解答 解：当x∈[1，4]时，0≤f（x）=log₂x≤2，
可得2≤m²-3am+2在a∈[-1，1]上恒成立，即m²-3am≥0在a∈[-1，1]上恒成立，
当m=0时显然成立，
当m≠0时，设g（a）=m²-3am，a∈[-1，1]，
则（1）m＞0时，函数g（a）在[-1，1]上是减函数，可知g（1）≥0，解得m≥3；
（2）m＜0时，函数g（a）在[-1，1]上是增函数，可知g（-1）≥0，解得m≤-3；
综上所述，m的取值范围是m=0或m≥3或m≤-3，
故选D．

点评 本题考查恒成立问题，构造函数，根据函数的单调性可得，属于中档题