Question

9．如图，由O⊙的$\widehat{AB}$的中点C引弦CD、CE，分别与AB相交于F、G．求证：DG•EF=FD•GE+DE•FG．

Answer 1

分析 连接AD，DE，EB，由A，D，E，B四点共圆，可得对角互补，点C是弧AB的中点，可得等弧所对圆周角相等，即可得到四边形DFEG的对角互补，可得四点D、F、G、E共圆，在EF上取一点K，运用相似三角形的判定可得△FDK∽△GDE，△FDG∽△KDE，再由对应边成比例，即可得到结论．

解答 证明：连接AD，DE，EB，
由A，D，E，B四点共圆，得∠ADE+∠B=180°，
∵∠ADE=∠ADC+∠CDE，
∴∠ADC+∠CDE+∠B=180°①
∵点C是弧AB的中点，
∴∠ADC=∠BEC  ②
由①②，得∴∠BEC+∠CDE+∠B=180°，
即（∠BEC+∠B）+∠CDE=180°，
∴∠EGA+∠CDE=180°，
则四边形DFEG内接于圆，
即有∠DFE=DGE，∠FGD=∠FED，
在EF上取一点K，使得∠FDK=∠EDG，
∠FDK+∠EDK=∠FDE=∠FDG+∠EDG，
可得∠EDK=∠FDG，
则△FDK∽△GDE，△FDG∽△KDE，
即有$\frac{FK}{FD}$=$\frac{GE}{GD}$，$\frac{EK}{DE}$=$\frac{FG}{DG}$，
即FK•DG=DF•GE，EK•DG=DE•FG，
相加可得，（FK+EK）•DG=DF•GE+DE•FG．
则DG•EF=FD•GE+DE•FG．

点评 本题考查与圆有关的比例线段，解本题的关键是由所证的结论观察出其成立的等价条件：四点D、F、G、E共圆，考查相似三角形的判定和性质，属于难题．