题目内容
定义非零向量
=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量
=（a，b）称为f（x）=asinx+bcosx，（x∈R）的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S
（1）设h（x）=
cos（x+
）-3cos（
-x）（x∈R）
①求证：h（x）∈S
②求（1）中函数h（x）的“相伴向量”的模；
（2）已知点M（a，b）满足：
∈（0，
]，向量
“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值，求tan2x0的取值范围．
| OM |
| OM |
（1）设h（x）=
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
①求证：h（x）∈S
②求（1）中函数h（x）的“相伴向量”的模；
（2）已知点M（a，b）满足：
| b |
| a |
| 3 |
| OM |
考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算
专题：三角函数的求值
分析：（1）①用诱导公式对函数解析式化简，构造出asinx+bcosx的形式，进而求得函数h（t）为向量
=（-3，
）的相伴函数，证明结论．
②利用①中相伴向量，求得向量的模．
（2）利用辅角公式对函数解析式恒等变换，分别表示出cosφ和sinφ，根据三角函数性质求得函数取最大值时，x的值，进而表示出tanx0，再表示出tan2x0，用换元法，令m=
重新表示出tan2x0，利用m的范围求得tan2x0的取值范围．
| OM |
| 3 |
②利用①中相伴向量，求得向量的模．
（2）利用辅角公式对函数解析式恒等变换，分别表示出cosφ和sinφ，根据三角函数性质求得函数取最大值时，x的值，进而表示出tanx0，再表示出tan2x0，用换元法，令m=
| b |
| a |
解答：
解：（1）①证明：∵h（x）=
cos（x+
）-3cos（
-x）=
cos（x+
）-3sin（x+
），
∴函数h（t）为向量
=（-3，
）的相伴函数，
∴h（x）∈S
②由①知函数h（x）的“相伴向量”
=（-3，
），
∴|
|=
=2
（2）
的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=
sin（x+φ），
其中cosφ=
，sinφ=
，
当x+φ=2kπ+
，k∈Z，即x0=2kπ+
-φ，k∈Z时，f（x）取得最大值，
∴tanx0=tan（2kπ+
-φ）=cotφ=
，
∴tan2x0=
=
=
，
令m=
，tan2x0=
，m∈（0，
]m
则
≥
，-
≤-
，
∴m-
∈（-∞，
]，
∴tan2x0∈（-∞，0）∪（
，+∞）
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 3 |
| 3 |
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
∴函数h（t）为向量
| OM |
| 3 |
∴h（x）∈S
②由①知函数h（x）的“相伴向量”
| OM |
| 3 |
∴|
| OM |
| 3+9 |
| 3 |
（2）
| OM |
| a2+b2 |
其中cosφ=
| a | ||
|
| b | ||
|
当x+φ=2kπ+
| π |
| 2 |
| π |
| 2 |
∴tanx0=tan（2kπ+
| π |
| 2 |
| a |
| b |
∴tan2x0=
| 2tanx0 |
| 1-tan2x0 |
2×
| ||
1-
|
| 2 | ||||
|
令m=
| b |
| a |
| 2 | ||
m-
|
| 3 |
则
| 1 |
| m |
| ||
| 3 |
| 1 |
| m |
| ||
| 3 |
∴m-
| 1 |
| m |
2
| ||
| 3 |
∴tan2x0∈（-∞，0）∪（
| 3 |
点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，考查了分析推理和归纳的能力．综合性较强．
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)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4，则(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值为（ ）
| 3 |
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