Question

已知f（x）=-x³+ax，其中a∈R，g（x）=-

1

2

x 

3

2

，且f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：导数的综合应用

分析：把f（x），g（x）代入f（x）＜g（x），由f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立．得到a＜x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上恒成立，构造辅助函数h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

，由导数求得h（x）在（0，1]上的最小值，则答案可求．

解答： 解：设F（x）=f（x）-g（x）=-x³+ax+

1

2

x

3

2

，
∵f（x）＜g（x）在（0，1]上恒成立，
∴F（x）＜0在（0，1]上恒成立，
∴a＜x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上恒成立，
令h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

，
要求a的取值范围，使得上式在区间（0，1]上恒成立，
只需求函数h（x）=x²-

1

2

x 

1

2

在（0，1]上的最小值．
∵h′（x）=2x-

1

4 x

=

(2 x -1)(4x+2 x +1)

4 x

，
由h′（x）=0，得（2

x

-1）（4x+2

x

+1）=0．
∵4x+2

x

+1＞0，
∴2

x

-1=0，x=

1

4

．
又∵x∈（0，

1

4

]时，h′（x）＜0，
x∈（

1

4

，1]时，h′（x）＞0，
∴x=

1

4

时，h（x）有最小值h（

1

4

）=-

3

16

，
∴a＜-

3

16

．
故实数a的取值范围是(-∞，-

3

16

)．

点评：本题考查了恒成立问题，考查了构造函数法和分离变量法，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．