Question

已知正数x，y满足x+y+

1

x

+

1

y

=5，则x+y的取值范围是（　　）

• A、[2，3]
• B、[

  1

  2

  ，4]
• C、[1，4]
• D、[1，5]

Answer 1

考点：基本不等式在最值问题中的应用

专题：综合题,不等式的解法及应用

分析：由x+y+

1

x

+

1

y

=5，可得（x+y）（x+y+

1

x

+

1

y

）=5（x+y），结合基本不等式，即可求出x+y的取值范围．

解答： 解：∵x+y+

1

x

+

1

y

=5，
∴（x+y）（x+y+

1

x

+

1

y

）=5（x+y），
∴（x+y）²+

y

x

+

x

y

+2=5（x+y），
∴5（x+y）≥（x+y）²+4，
即（x+y）²-5（x+y）+4≤0
解得1≤x+y≤4，
故选：C．

点评：本题考查基本不等式的运用，考查学生的计算能力，正确运用基本不等式是关键．