Question

已知公差不为零的等差数列{a_n}，满足a₁+a₃+a₅=12．，且a₁，a₅，a₁₇成等比数列．
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（II）若b_n=

an2+1

an2-1

，数列{b_n}的前n项和为S_n，求证：S_n-n＜

3

2

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知得a₃=4，a52=a1a17，从而（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），由此能求出数列{a_n}的通项公式．（Ⅱ）由bn=

an2+1

an2-1

=

(n+1)2+1

(n+1)2-1

=1+

2

(n+1)2-1

=1+

2

n(n+2)

，由此利用裂项法能证明S_n-n＜

3

2

．

解答： （Ⅰ）解：∵a₁+a₃+a₅=12，∴3a₃=12，∴a₃=4．…（2分）
∵a₁，a₅，a₁₇成等比数列，∴a52=a1a17，
∴（4+2d）²=（4-2d）（4+14d），
∵d≠0，解得d=1，…（4分）
∴a_n=a₃+（n-3）d=4+（n-3）=n+1；
∴数列{a_n}的通项公式为an=n+1，n∈N*．…（5分）
（Ⅱ）证明：∵bn=

an2+1

an2-1

=

(n+1)2+1

(n+1)2-1

=1+

2

(n+1)2-1

=1+

2

n(n+2)

，…（7分）
∴Sn=(1+

2

1×3

)+(1+

2

2×4

)+…+(1+

2

n(n+2)

)
=n+

2

2

(1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

)
=n+1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=n+

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

，…（11分）
∴S_n-n=

3

2

-

1

n+1

-

1

n+2

＜

3

2

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项法的合理运用．