Question

6．若$\int_1^m{（2x-1）dx}=6$（其中m＞1），则多项式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$展开式的常数项为-20．

Answer 1

分析 求定积分可得m=3，再利用二项式展开式的通项公式，求得故多项式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$=${（x-\frac{1}{x}）}^{6}$ 的展开式的常数项．

解答 解：若$\int_1^m{（2x-1）dx}=6$=（x²-x）${|}_{1}^{m}$=m²-m=6（其中m＞1），则m=3，
故多项式${（{x^2}+\frac{1}{x^2}-2）^m}$=${（x-\frac{1}{x}）}^{6}$ 的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{6}^{r}$•（-1）^r•x^6-2r，
令6-2r=0，可得r=3，故展开式的常数项为-${C}_{6}^{3}$=-20，
故答案为：-20．

点评 本题主要考查定积分的运算，二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，属于基础题．