Question

已知向量

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），其中a＞0，若函数f（x）=

a

•

b

的图象与直线y=m（m＞0）相切，且切点横坐标成公差为π的等差数列．
（1）求a和m的值；
（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边．若f(

A

2

)=

3

2

，且a=4，求△ABC面积的最大值及此时b、c的值．

Answer 1

考点：余弦定理,平面向量数量积的运算

专题：解三角形

分析：（1）由两向量的坐标，利用平面向量的数量积运算法则列出f（x）解析式，根据题意确定出函数的周期及最大值，即可求出a与m的值；
（2）由确定出的解析式及f（

A

2

）=

3

2

，求出A的度数，利用三角形面积公式列出关系式，把sinA的值代入，表示出三角形ABC面积，利用余弦定理列出关系式，把cosA与a的值代入，并利用基本不等式求出bc的最大值，即可确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时b与c的值．

解答： 解：（1）∵

a

=（cosax，sinax），

b

=（

3

cosax，-cosax），
∴f（x）=

a

•

b

=

3

cos²ax-sinaxcosax=

3

2

-sin（2ax-

π

3

），
由题意，函数f（x）的周期为π，且最大（或最小）值为m，而m＞0，

3

2

-1＜0，
∴a=1，m=

3

2

+1；
（2）∵f（

A

2

）=

3

2

，∴sin（A-

π

3

）=0，
又A为△ABC的内角，∴A=

π

3

，
∴S_△ABC=

1

2

bcsinA=

3

4

bc，
∵cosA=

1

2

，a=4，
∴由余弦定理得：a²=b²+c²-2bccosA，即b²+c²=16+bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
整理得：bc≤16，
∴S_△ABC=

3

4

bc≤4

3

，
则当且仅当b=c=4时，△ABC的面积取得最大值4

3

．

点评：此题考查了余弦定理，平面向量的数量积运算，以及基本不等式的运用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．