Question

9．已知点$A（-\sqrt{3}，0）$和$B（\sqrt{3}，0）$，动点C引A、B两点的距离之和为4．
（1）求点C的轨迹方程；
（2）点C的轨迹与直线y=x-2交于D、E两点，求弦DE的长．

Answer 1

分析 （1）运用椭圆的定义和a，b，c的关系，可得a=2，b=1，进而得到椭圆方程；
（2）点C的轨迹与直线y=x-2联立，得5x²-16x+12=0，利用弦长公式，由此能求出线段DE的长．

解答 解：（1）由椭圆的定义可知，曲线是以A，B为焦点的椭圆，
且2a=4，即a=2，c=$\sqrt{3}$，b=1，
即有点C的轨迹方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）点C的轨迹与直线y=x-2联立，得5x²-16x+12=0，
设D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），则x₁+x₂=$\frac{16}{5}$，x₁x₂=$\frac{12}{5}$，
∴|DE|=$\sqrt{2}•\sqrt{\frac{256}{25}-4×\frac{12}{5}}$=$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．
故线段DE的长为$\frac{4\sqrt{2}}{5}$．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，涉及弦长公式，属于中档题．