Question

求函数f（x）=x²+2xcosθ+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
（1）当θ=

π

3

时，求f（x）的最大值和最小值；
（2）若f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调递增函数，θ∈R，求θ的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：（1）利用三角函数种特殊角的特殊函数值，得到f（x），求出对称轴，然后根据所告诉的区间，求出最值，距离对称轴越远，值越大．
（2）需要分类讨论，当cosθ=0时，不满足条件，当cosθ≠0，再根据对称轴求的cosθ的范围，继而求出θ的范围．

解答： 解：（1）∵θ=

π

3

时，则cos

π

3

=

1

2

∴f（x）=x²+x+1，开口向上，对称轴为x=-

1

2

，
∴f（x）在[-

3

2

，-

1

2

]为减函数，在[-

1

2

，

1

2

]为增函数，
∴当x=-

1

2

，f（x）_min=f（-

1

2

）=

3

4

，
当x=

1

2

，f（x）_max=f（

1

2

）=

7

4

，
（2）当cosθ=0时，f（x）=x²+1，在[-

3

2

，0）上到单调递减，在[0，

1

2

]单调递增，
∵f（x）在区间[-

3

2

，

1

2

]上是单调递增函数，
∴cosθ=0不成立，
即cosθ≠0，
∵f（x）=x²+2xcosθ+1，x∈[-

3

2

，

1

2

]．
∴对称轴为x=-cosθ，
∴-cosθ≤-

3

2

，
即cosθ≥

3

2

，
∴2kπ-

π

6

≤θ≤2kπ+

π

6

，
故θ的取值范围为[2kπ-

π

6

，2kπ+

π

6

]．

点评：本题主要考查了二次函数的单调性，关键是求出对称轴，以及观察开口的方向，以及三角函数的取值范围，属于中档题．