Question

14．判断函数f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$（a≠0）在区间（-1，1）上的奇偶性和单调性，并证明．

Answer 1

分析 由已知易判断出函数的定义域关于原点对称，再判断f（-x）与f（x）的关系，即可根据函数奇偶性的定义，进行判断得到结论；利用导数，即可得到答案；

解答 解：由题意，f（-x）=$\frac{-ax}{（-x）^{2}-1}$=-$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$=-f（x），
∴函数f（x）是奇函数；
∵f（x）=$\frac{ax}{{{x^2}-1}}$，
∴f′（x）=$\frac{-a（{x}^{2}+1）}{{x}^{2}-1}$，
∴-1＜x＜1，∴x²-1＜0
∴a＞0时，f′（x）＞0，函数单调递增；
a＜0时，f′（x）＜0，函数单调递减．

点评 本题考查的知识点是函数奇偶性的判断，函数单调性的判断与证明，其中掌握函数奇偶性的定义及导数知识的运用是解答本题的关键．