Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=e^-x（x-1）给出以下命题：
①当x＜0时，f（x）=e^-x（x+1）；
②函数f（x）有五个零点；
③若关于x的方程f（x）=m有解，则实数m的取值范围是f（-2）≤x≤f（2）；
④?x₁，x₂∈R，|f（x₂）-f（x₁）|＜2恒成立．
其中，正确命题的序号是

 

．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：应用奇函数的定义和性质，结合函数的图象和性质判断求解．

解答： 解：令x＜0，所以-x＞0，所以f（-x）=e^x（-x-1）=-f（x），所以f（x）=e^x（x+1）
故①正确；观察f（x）在x＜0时的图象，令f′（x）=e^x（x+1）+e^x=0，所以x=-2
可知f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，0）上递增，而在（-∞，-1）上，f（x）＜0，在（-1，0）上f（x）＞0
由此可判断在（-∞，0）仅有一个零点，有对称性可知f（x）在（0，∞）上也有一个零点，又因为f（0）=0，故该函数有三个零点．
由图可知，若关于x的方程f（x）=m有解，则-1＜m＜1，且?x₁，x₂∈R，|f（x₁）-f（x₂）＜2|恒成立．

故答案为：①④

点评：本题考查了函数的概念和性质，综合函数图象性质，求解综合性较大，运用的知识点比较多，做题要仔细认真．