Question

15．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=-x²+ax+a+1，则f（-2）=-3a+3；若函数f（x）为R上的单调减函数，则a的取值范围是a≤0．

Answer 1

分析 利用奇函数的性质，求出f（-2）；借助二次函数图象的特征及奇函数性质可求a的范围．

解答 解：f（-2）=-f（2）=-（-4+2a+a+1）=-3a+3；
①当a≤0时，对称轴x=$\frac{a}{2}$≤0，所以f（x）=-x²+ax+a+1在[0，+∞）上单调递减，
由于奇函数关于原点对称的区间上单调性相同，所以f（x）在（-∞，0）上单调递减，
所以a≤0时，f（x）在R上为单调递减函数，
当a＞0时，f（x）在（0，$\frac{a}{2}$）递增，在（$\frac{a}{2}$，+∞）上递减，不合题意，
所以函数f（x）为单调减函数时，a的范围为a≤0．
故答案为：-3a+3；a≤0．

点评 本题考查函数的奇偶性、单调性及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力．