Question

3．已知集合A={x|log₄x＜-1}，B=$\{x|{2^x}≤\sqrt{2}\}$，命题p：?x∈A，2^x＜3^x；命题q：?x∈B，x³=1-x²，则下列命题中为真命题的是（　　）

• A． p∧q
• B． ￢p∧q
• C． p∧￢q
• D． ￢p∧￢q

Answer 1

分析 求解对数不等式化简集合A，结合指数函数的性质说明P正确，利用导数判断函数f（x）=x³+x²-1在x≤$\frac{1}{2}$时无零点，说明q错误，由此可得答案．

解答 解：∵A={x|log₄x＜-1}={x|0＜x＜$\frac{1}{4}$}，
∴命题p：?x∈A，2^x＜3^x为真命题；
∵B=$\{x|{2^x}≤\sqrt{2}\}$={x|x≤$\frac{1}{2}$}，
令f（x）=x³+x²-1，f′（x）=3x²+2x，
∴f（x）在（-∞，-$\frac{2}{3}$），（0，$\frac{1}{2}$）上为增函数，在（-$\frac{2}{3}$，0）上为减函数．
又f（-$\frac{2}{3}$）=-$\frac{23}{27}$＜0，f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{5}{8}$＜0，
∴当x≤$\frac{1}{2}$时，f（x）＜0，即命题q：?x∈R，x³=1-x²为假命题．
∴p∧￢q为真命题．
故选：C．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点的判定方法，属中档题．