题目内容

20.△ABC中,已知sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2A.
(Ⅰ)求角A的大小;
(Ⅱ)求2$\sqrt{3}$cos2$\frac{C}{2}$-sin($\frac{4π}{3}$-B)的最大值,并求取得最大值时角B、C的大小.

分析 (Ⅰ)由已知及正弦定理化简得b2+c2-a2=-bc,利用余弦定理解得cosA=-$\frac{1}{2}$,结合A的范围即可解得A的值.
(Ⅱ)根据三角函数恒等变换的应用化简所求为$\sqrt{3}+2$sin(C+$\frac{π}{3}$),根据C的范围,即可利用正弦函数的图象和性质得解.

解答 解:(Ⅰ)由已知sin2B+sin2C+sinBsinC=sin2,(2分)
得b2+c2-a2=-bc,
∴cosA=-$\frac{1}{2}$,--------------------------------------(4分)
∵0<A<π,∴A=$\frac{2π}{3}$.--------------------------------------(6分)
(Ⅱ)∵A=$\frac{2π}{3}$,∴B=$\frac{π}{3}$-C,0$<C<\frac{π}{3}$.
2$\sqrt{3}$cos2$\frac{C}{2}$-sin($\frac{4π}{3}$-B)=2$\sqrt{3}×\frac{1+cosC}{2}$+sin($\frac{π}{3}-B$)=$\sqrt{3}+2$sin(C+$\frac{π}{3}$).-------(10分)
∵0$<C<\frac{π}{3}$,∴$\frac{π}{3}$<C+$\frac{π}{3}$<$\frac{2π}{3}$,
∴当C+$\frac{π}{3}$=$\frac{π}{2}$,2$\sqrt{3}$cos2$\frac{C}{2}$-sin($\frac{4π}{3}$-B)取最大值$\sqrt{3}+2$,解得B=C=$\frac{π}{6}$.---(14分)

点评 本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角函数恒等变换的应用,正弦函数的图象和性质的应用,正弦、余弦定理很好的建立了三角形的边角关系,熟练掌握定理是解本题的关键,属于中档题.

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