Question

7．对于函数f（x）定义域中任意的x₁，x₂（x₁≠x₂）有如下结论
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂） 
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）
③$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0        
④f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$
当f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x时，上述结论中正确的序号是（　　）

• A． ①③
• B． ②③
• C． ②④
• D． ②③④

Answer 1

分析 结合对数的运算性质及对数函数的图象和性质，逐一分析四个结论的真假，可得答案．

解答 解：当f（x）=log${\;}_{\frac{1}{2}}$x时，
①f（x₁+x₂）=f（x₁）•f（x₂） 不一定成立，故错误；
②f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）一定成立，故正确；
③函数为减函数，故$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＜0一定成立，故正确；
④函数凹函数，故f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）＜$\frac{f（{x}_{1}）+f（{x}_{2}）}{2}$一定成立，故正确；
故正确的命题的序号是②③④，
故选：D

点评 本题考查的知识点是对数的运算性质及对数函数的图象和性质，难度中档．