Question

5．已知函数f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），记a_n=3^f（n），n∈N^*
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，T_n=b₁+b₂+…b_n，求证：T_n＜3．

Answer 1

分析 （1）根据条件建立方程组关系，求出a，b，结合指数和对数的运算性质即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$的通项公式，利用错位相减法求出T_n=b₁+b₂+…b_n，根据不等式的性质即可证明T_n＜3．

解答 解：（1）∵f（x）=log₃（ax+b）的图象经过点A（2，1）和B（5，2），
∴$\left\{\begin{array}{l}{lo{g}_{3}（2a+b）=1}\\{lo{g}_{3}（5a+b）=2}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{2a+b=3}\\{5a+b=9}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
则f（x）=log₃（2x-1），
则数列{a_n}的通项公式a_n=3^f（n）=${3}^{lo{g}_{3}（2n-1）}$=2n-1，n∈N^*；
（2）b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$，
T_n=b₁+b₂+…b_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{3}{{2}^{2}}$+$\frac{5}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2n-1}{{2}^{n}}$  ①，
       $\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{3}{{2}^{3}}$…+$\frac{2n-5}{{2}^{n-1}}$+$\frac{2n-3}{{2}^{n}}$+$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$ ②，
①-②得$\frac{1}{2}$T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{1}{2}$+（$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{3}}$+…+$\frac{2}{{2}^{n}}$）-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$，
∴T_n=3-$\frac{1}{{2}^{n-1}}$-$\frac{2n-1}{{2}^{n+1}}$=3-$\frac{2n+3}{{2}^{n}}$＜3．
即T_n＜3．

点评 本题主要考查数列通项公式的求解，以及数列求和的计算，利用错位相减法是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．