Question

6．已知向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角为60°，且|$\overrightarrow{m}$|=1，|$\overrightarrow{n}$|=2，又$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{b}$=-3$\overrightarrow{m}$+$\overrightarrow{n}$
（Ⅰ）求$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的夹角的余弦；
（Ⅱ）设$\overrightarrow{c}$=t$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{d}$=$\overrightarrow{m}$-$\overrightarrow{n}$，若$\overrightarrow{c}$⊥$\overrightarrow{d}$，求实数t的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）进行数量积的运算便可得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=-3$，根据$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}$便可求出$|\overrightarrow{a}|$，同理可求出$|\overrightarrow{b}|$，这样根据向量夹角的余弦公式即可求出$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦；
（Ⅱ）先求出$\overrightarrow{c}=（2t+3）\overrightarrow{m}+（t-1）\overrightarrow{n}$，而根据$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$便有$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=[（2t+3）\overrightarrow{m}+（t-1）\overrightarrow{n}]•[（t-1）\overrightarrow{n}]=0$，进行数量积的运算即可求出t的值．

解答 解：（Ⅰ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）•（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）$=$-6{\overrightarrow{m}}^{2}-\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}$=-6-1•2•cos60°+4=-3；
$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{4{\overrightarrow{m}}^{2}+4\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}+{\overrightarrow{n}}^{2}}$=$\sqrt{4+4+4}=2\sqrt{3}$，$|\overrightarrow{b}|=\sqrt{（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）^{2}}=\sqrt{9-6+4}=\sqrt{7}$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}=\frac{-3}{2\sqrt{3}•\sqrt{7}}=-\frac{\sqrt{21}}{14}$；
即$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$夹角的余弦为$-\frac{\sqrt{21}}{14}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{c}=t（2\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）-（-3\overrightarrow{m}+\overrightarrow{n}）=（2t+3）\overrightarrow{m}$$+（t-1）\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{c}⊥\overrightarrow{d}$；
∴$\overrightarrow{c}•\overrightarrow{d}=（2t+3）{\overrightarrow{m}}^{2}-（t+4）\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}-（t-1）{\overrightarrow{n}}^{2}$=2t+3-t-4-4t+4=0；
∴t=1．

点评 考查向量数量积的运算及其计算公式，求向量长度的方法：根据$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{{\overrightarrow{a}}^{2}}$，向量夹角的余弦公式，向量的减法和数乘运算，向量垂直的充要条件．