Question

5．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且对任意正整数n，都有S_n=$\frac{{a}_{n}-1}{λ}$（λ≠0.1）．
（Ⅰ）求证：{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）若λ=$\frac{1}{2}$，且b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$，{b_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）运用当n=1时，a₁=S₁，当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，再由等比数列的定义，即可得证；
（Ⅱ）化简b_n=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），再由裂项相消求和，即可得到所求T_n．

解答 解：（Ⅰ）证明：当n=1时，a₁=S₁=$\frac{{a}_{1}-1}{λ}$，
解得a₁=$\frac{1}{1-λ}$，
当n＞1时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{{a}_{n}-1}{λ}$-$\frac{{a}_{n-1}-1}{λ}$，
可得a_n=$\frac{{a}_{n-1}}{1-λ}$，
由等比数列的定义可得，{a_n}为首项是$\frac{1}{1-λ}$，公比为$\frac{1}{1-λ}$的等比数列；
（Ⅱ）λ=$\frac{1}{2}$，且b_n=$\frac{1}{lo{g}_{4}{a}_{n}•lo{g}_{4}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{lo{g}_{4}{2}^{n}•lo{g}_{4}{2}^{n+1}}$
=$\frac{4}{n（n+1）}$=4（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
则T_n=4（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$）
=4（1-$\frac{1}{n+1}$）=$\frac{4n}{n+1}$．

点评 本题考查等比数列的判断，考查数列的通项和求和的关系，同时考查数列的求和方法：裂项相消求和，考查运算能力，属于中档题．