题目内容
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边长为连续的正整数，C＜B＜A，3b=20acosA，则cosC= ．
考点：余弦定理
专题：解三角形
分析：设三边长分别为 a、a-1、a-2．由余弦定理建立方程关系即可解得a的值，可得三边长，然后利用余弦定理即可得到结论．
解答：
解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且C＜B＜A，可设三边长分别为 a、a-1、a-2．
即b=a-1，c=a-2．
由余弦定理可得 cosA=
=
．
再由3b=20acos A，可得cosA=
=
，
故有
=
，
解得 a=6，故三边分别为6，5，4．
∴cos?C=
=
，
故答案为：
．
即b=a-1，c=a-2．
由余弦定理可得 cosA=
| (a-1)2+(a-2)2-a2 |
| 2(a-2)(a-1) |
| a-5 |
| 2(a-2) |
再由3b=20acos A，可得cosA=
| 3b |
| 20a |
| 3a-3 |
| 20a |
故有
| a-5 |
| 2(a-2) |
| 3a-3 |
| 20a |
解得 a=6，故三边分别为6，5，4．
∴cos?C=
| 62+52-42 |
| 2×6×5 |
| 3 |
| 4 |
故答案为：
| 3 |
| 4 |
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键．
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| 2 |
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