Question

20．已知函数f（x）=xsinx+cosx
（I）若f（x）＞k对任意的x∈（0，π）恒成立，求实数k的取值范围；
（II）判断f（x）在区间（2，3）上的零点个数，并证明你的结论．（参考数据：$\sqrt{2}$≈1.4，$\sqrt{6}$≈2.4）

Answer 1

分析 （I）求得函数f（x）=xsinx+cosx的导函数，根据导函数的单调性来求实数k的取值范围；
（II）求出函数的导数，求出函数的单调性，根据零点的判定定理证明即可．

解答 解：（ I）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（0，$\frac{π}{2}$）时，f'（x）＞0，x∈（$\frac{π}{2}$，π）时，f'（x）＜0，
即f（x）在∈（0，$\frac{π}{2}$）递增，在（$\frac{π}{2}$，π）递减，故f（x）_min=min{f（0），f（π）}．
又f（0）=1，f（π）=cosπ=-1
∴k≤-1．
（ II）f'（x）=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
∴x∈（2，3）时，f'（x）=xcosx＜0，
∴函数f（x）在（2，3）上是减函数，
又f（2）=2sin2+cos2=sin2+cos2+sin2=$\sqrt{2}$sin（2+$\frac{π}{4}$）+sin2＞0，
∵3sin3＜3sin$\frac{11π}{12}$=3sin$\frac{π}{12}$=3sin（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=3×$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≈0.75，
cos3＜cos$\frac{11π}{12}$=-cos$\frac{π}{12}$=-cos（$\frac{π}{3}$-$\frac{π}{4}$）=-$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$≈-0.95，
∴f（3）=3sin3+cos3＜0，
由零点存在性定理，f（x）在区间（2，3）上只有1个零点．

点评 本题考查了函数的零点判定定理，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．