Question

7．已知二次函数y=f（x）的定义域为R，f（x）在x=m时取得最值，又知y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x²+x-2．
（1）求f（x）的解析式，用m表示；
（2）当x∈[-2，1]时，f（x）≥-3恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）直接利用在x=m处取得最值设出函数表达式，再利用y=g（x）为一次函数，且f（x）+g（x）=x²+x-2，求出a和b即可求f（x）的解析式．
（2）分别讨论给定区间与对称轴的位置关系，结合f（x）≥-3恒成立，综合讨论结果，可得实数m的取值范围．

解答 解：（1）设f（x）=a（x-m）²+b，
又f（x）+g（x）=x²+x-2，g（x）为一次函数，
∴a=1，则b=1-（1-m）²，
∴f（x）=（x-m）²+1-（1-m）²=（x-m）²-m²+2m．
（2）由函数f（x）=（x-m）²-m²+2m的图象是开口朝上，且以直线x=m为对称轴的抛物线，
且当x∈[-2，1]时，f（x）≥-3恒成立，则：
当m≤-2时，仅须f（-2）=6m+4≥-3，解得：m≥-$\frac{7}{6}$，此时不存在满足条件的m值；
当-2＜m＜1时，仅须f（m）=2m-m²≥-3，解得：-1≤m≤3，此时：-1≤m＜1；
当m≥1时，仅须f（1）=1≥-3，解得：m≥1；
综上所述：m≥-1．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．