Question

已知f（x）=

-1

2

+

sin 5x 2

2sin x 2

，x∈（0，π）
（1）将f（x）表示成cosx的多项式
（2）求f（x）的最小值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的最值

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由

5x

2

=

x

2

+2x，用两角和的正弦公式将sin

5x

2

展开，再由倍角公式可化简为f（x）=2cos²x+cosx-1，从而得解．
（2）配方可得f（x）=2cos²x+cosx-1=2（cos+

1

4

）²-

9

8

，根据正弦函数的性质可求f（x）的最小值．

解答： 解：（1）f（x）=-

1

2

+

sin x 2 cos2x+4cos2 x 2 sin x 2 cosx

2sin x 2

=-

1

2

+

2cos2x-1

2

+2cos²

x

2

cosx
=-

1

2

+

2cos2x-1

2

+（2cos²

x

2

-1）cosx+cosx
=cos²x-1+cos²x+cosx
=2cos²x+cosx-1
（2）∵f（x）=2cos²x+cosx-1=2（cos+

1

4

）²-

9

8

∴f（x）的最小值-

9

8

．

点评：本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数的最值，属于中档题．