Question

四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，PA=AB=AD=

1

2

CD，AB∥CD，∠ADC=90°．
（1）在侧棱PC上是否存在一点Q，使BQ∥面PAD？说明理由．
（2）求PB与面PCD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）延长DA交CB延长线于E，连接PE，由已知可得B为EC中点，进而根据Q为CD中点，推断出BQ∥PE，最后利用线面平行的判定定理得出BQ∥PAD
（2）令CD=2a，由V_B-PCD=V_P-BCD，进而表示出B到面PCD距离，则sinθ的值可得．

解答： 解：（1）存在Q为PC中点
证明：延长DA交CB延长线于E，连接PE，
∵AB∥CD，AB=

1

2

CD，
∴B为EC中点；
做Q为CP中点，
∴BQ∥PE
又BQ?面PAD，PE?面PAD
∴BQ∥平面PAD
（2）令CD=2a，
V_P-BCD=

1

3

|PA|•S△_DBC=

1

3

×a×

1

2

×2a×a=

a3

3

，
∵PA⊥底面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵∠ADC=90°
∴CD⊥AD，
∴CD⊥平面PAD，
∴CD⊥PD，
∴PD=

AD2+AP2

=

2

a，
设B到面PCD距离为d，
∴S_△PDC=

1

2

•2a•

2

a=

2

a²
由V_B-PCD=V_P-BCD=

1

3

•d•

2

a²=

a3

3

∴d=

2

2

a，
故sinθ=

d

PB

=

2 2 a

2 a

=

1

2

点评：本题主要考查了线面平行的判定定理，点到面的距离．考查了学生基础知识的综合运用．