Question

若数列{a_n}中，a₁=

1

3

，且对任意的正整数p，q都有a_p+q=a_pa_q，则若q=1时，a₂+a₄+a₆+…+a_2n+…=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：对任意的正整数p，q都有a_p+q=a_pa_q，a₁=

1

3

，可得a2=a1a1=

1

9

，当q=1时，ap+1=apa1=

1

3

ap，可得{a_n}是首项和公比都为

1

3

的等比数列，{a_2n}是首项和公比都为

1

9

的等比数列，即可得出．

解答： 解：∵对任意的正整数p，q都有a_p+q=a_pa_q，a₁=

1

3

，
∴a2=a1a1=

1

9

，
若q=1时，ap+1=apa1=

1

3

ap，
∴{a_n}是首项和公比都为

1

3

的等比数列，
∴{a_2n}是首项和公比都为

1

9

的等比数列，
a2+a4+a6+…+a2n+…=

1 9

1- 1 9

=

1

8

．
故答案为：

1

8

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、数列极限的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．