Question

已知数列{a_n}满足

1

2

a₁+

1

22

a²+…+

1

2n

a_n=

n2+n

2

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）利用递推式即可得出

1

2n

an=n；
（2）利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出．

解答： 解：（1）当n=1时 

1

2

a1=

12+1

2

⇒a1=2，

1 2 a1+ 1 22 a2+…+ 1 2n-1 an-1= (n-1)2+(n-1) 2 1 2 a1+ 1 22 a2+…+ 1 2n an= n2+n 2

，
两式相减，得

1

2n

an=n，
∴an=n•2n．
（2）设Sn=2+2•22+3•23+…+n•2n，
则   2Sn= 22+2•23+…+(n-1)•2n+n•2n+1，
两式相减，得-Sn=2+22+23+…+2n-n•2n+1=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=（2-2n）•2ⁿ-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查了递推式的应用、“错位相减法”与等比数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．