题目内容
已知函数f（x）=1+x-
+
-
+…+
，试问函数f（x）在其定义域内有多少个零点？（ ）
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 3 |
| x4 |
| 4 |
| x2011 |
| 2011 |
| A、0 | B、1 | C、2 | D、3 |
考点：利用导数研究函数的单调性
专题：计算题,函数的性质及应用,导数的综合应用
分析：由题意求导f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010，从而由等比数列的前n项和公式证明f′（x）＞0，从而说明f（x）=1+x-
+
-
+…+
在定义域内是增函数，再求f（-1）及f（0）；从而判断．
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 3 |
| x4 |
| 4 |
| x2011 |
| 2011 |
解答：
解：∵f′（x）=1-x+x2-x3+…+x2010；
①当x=0时，f′（x）=1＞0；
②当x=-1时，f′（x）=2011＞0；
③当x≠0且x≠-1时，f′（x）=
＞0；
∴f（x）=1+x-
+
-
+…+
在定义域内是增函数，
又∵f（-1）=1-1-
+
-
+
+…-
＜0，
f（0）=1＞0；
故函数f（x）在其定义域内有1个零点；
故选B．
①当x=0时，f′（x）=1＞0；
②当x=-1时，f′（x）=2011＞0；
③当x≠0且x≠-1时，f′（x）=
| 1+x2011 |
| 1+x |
∴f（x）=1+x-
| x2 |
| 2 |
| x3 |
| 3 |
| x4 |
| 4 |
| x2011 |
| 2011 |
又∵f（-1）=1-1-
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 5 |
| 1 |
| 2011 |
f（0）=1＞0；
故函数f（x）在其定义域内有1个零点；
故选B．
点评：本题考查了导数的综合应用及等比数列的前n项和的应用，属于难题．
练习册系列答案
考前必练系列答案
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数列{an}中，若a1=1，a2=3且an+2=an+1-an（n∈N*），则a16=（ ）
| A、-1 | B、1 | C、2 | D、3 |
已知实数x，y满足
，则z=
的取值范围为（ ）
|
| 2x+y+2 |
| x |
A、[0，
| ||
B、（-∞，0]∪[
| ||
C、[2，
| ||
D、（-∞，2]∪[
|
若直线y=2x上存在点（x，y）满足约束条件
，则实数m的取值范围为（ ）
|
| A、（-∞，-1] |
| B、[-1，1] |
| C、（-∞，1] |
| D、[1，+∞） |
已知α∈（0，π），cos（α+
）=-
，则tan2α=（ ）
| π |
| 3 |
| ||
| 2 |
A、
| ||||||
B、-
| ||||||
C、-
| ||||||
D、-
|