题目内容
福州、厦门、莆田、龙岩四个城市，它们分别有一个著名的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙崆洞，把福州、厦门、莆田、龙岩四个城市和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙崆洞分别写成左右两列，现在一名旅游爱好者随机用4条线把左右全部连接起来，构成“一一对应”，已知连对的得2分，连错的得0分（如图所示是一种“一一对应”的连法，连对的只有一个“厦门→鼓浪屿”）．（Ⅰ）求该旅游爱好者只得2分的概率；
（Ⅱ）该旅游爱好者的得分记为ξ，求ξ的分布列及数学期望．
考点：离散型随机变量及其分布列,离散型随机变量的期望与方差
专题：概率与统计
分析：（Ⅰ）福州、厦门、莆田、龙岩四个城市和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙硿洞构成的“一一对应”共有
=24种，该旅游爱好者只对了一个连线，有
•2=8种可能，由此能求出该旅游爱好者只得2分的概率．
（Ⅱ）由题意得ξ的得分情况有0、2、4、8四种，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
| A | 4 4 |
| C | 1 4 |
（Ⅱ）由题意得ξ的得分情况有0、2、4、8四种，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列及数学期望．
解答：
解：（Ⅰ）福州、厦门、莆田、龙岩四个城市
和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙硿洞构成的“一一对应”共有
=24种，
该旅游爱好者只对了一个连线，有
•2=8种可能，
因此该旅游爱好者只得2分的概率为P=
=
．…（5分）
（Ⅱ）由题意得ξ的得分情况有0、2、4、8四种，
P（ξ=0）=
=
，
P（ξ=2）=
=
=
，
P（ξ=4）=
=
=
，
P（ξ=8）=
=
，…（9分）
∴ξ的分布列为
∴Eξ=0×
+2×
+4×
+8×
=2．…（13分）
和它们的旅游景点鼓山、鼓浪屿、湄洲岛、龙硿洞构成的“一一对应”共有
| A | 4 4 |
该旅游爱好者只对了一个连线，有
| C | 1 4 |
因此该旅游爱好者只得2分的概率为P=
| 8 |
| 24 |
| 1 |
| 3 |
（Ⅱ）由题意得ξ的得分情况有0、2、4、8四种，
P（ξ=0）=
| 9 | ||
|
| 9 |
| 24 |
P（ξ=2）=
| ||
|
| 8 |
| 24 |
| 1 |
| 3 |
P（ξ=4）=
| ||
|
| 6 |
| 24 |
| 1 |
| 4 |
P（ξ=8）=
| 1 | ||
|
| 1 |
| 24 |
∴ξ的分布列为
| ξ | 0 | 2 | 4 | 8 | ||||||||
P |
|
|
|
|
| 3 |
| 8 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 24 |
点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，是中档题．
练习册系列答案
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