Question

4．已知函数f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，求证：
（1）函数f（x）是奇函数； 
（2）函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

Answer 1

分析 （1）由已知可得函数$\frac{1}{2x}$的定义域关于原点对称，且f（-x）=-f（x）恒成立，故函数f（x）是奇函数； 
（2）求导，根据x∈（0，+∞）时，f′（x）＜0恒成立，可得函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

解答 证明：（1）∵函数f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$的定义域为{x|x≠0}关于原点对称，
且f（-x）=-（-x）-$\frac{1}{2x}$=-（-x+$\frac{1}{2x}$）=-f（x），
故函数f（x）是奇函数； 
（2）∵函数f（x）=-x+$\frac{1}{2x}$，
∴f′（x）=-1-$\frac{1}{2{x}^{2}}$，
当x∈（0，+∞）时，
f′（x）＜0恒成立，
故函数f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．

点评 本题考查的知识点是函数的奇偶性，函数的单调性，利用导数研究函数的单调性，难度中档．