Question

证明：对于任意的m值，二次函数y=x²+mx-（m-1）与y=x²+x+m²至少有一个恒取正值．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：若二次函数y=x²+mx-（m-1）与y=x²+x+m²至少有一个恒取正值，则方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0至少有一个无根；进而根据

m2+4m-4≥0 1-4m2≥0

无解，可得方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0不可能均有实根，进而得到答案．

解答： 证明：若二次函数y=x²+mx-（m-1）与y=x²+x+m²至少有一个恒取正值，
则方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0至少有一个无根；
若方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0均有实根
则

m2+4m-4≥0 1-4m2≥0

由于上述方程组无解，
故方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0至少有一个无根，
即对于任意的x值，二次函数y=x²+mx-（m-1）与y=x²+x+m²至少有一个恒取正值．

点评：本题考查的知识点是二次函数图象和性质，方程与函数之间的关系，其中将问题转化为方程x²+mx-（m-1）=0与x²+x+m²=0至少有一个无根，是解答的关键．